Question

7．某大學(xué)的一個社會實(shí)踐調(diào)查小組，在對大學(xué)生的良好“光盤習(xí)慣”的調(diào)查中，隨機(jī)發(fā)放了120份問卷，對回收的100份有效問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表：

	做不到光盤	能做到光盤	合計(jì)
男	45	10	55
女	30	15	45
合計(jì)	70	25	100

（1）現(xiàn)已按是否做到關(guān)盤分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，若從這9份問卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的分?jǐn)?shù)為ξ，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）如果認(rèn)為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯誤的概率不超過P，那么，根據(jù)臨界值表，最精確的P的值應(yīng)為多少？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，其中做不到光盤的人數(shù)為：$\frac{9}{45}×30$=6，做到光盤的人數(shù)為：3，若從這9份問卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的分?jǐn)?shù)為ξ，ξ=0，1，2，3．利用“超幾何分布”即可得出分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用”計(jì)算公式可得K²的觀測值k，即可得出．

解答 解：（1）分層從45份女生問卷中抽取了9份問卷，其中做不到光盤的人數(shù)為：$\frac{9}{45}×30$=6，做到光盤的人數(shù)為：9-6=3，
若從這9份問卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的分?jǐn)?shù)為ξ，ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{6}^{4}}{{∁}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{42}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{9}^{4}}$=$\frac{10}{21}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{9}^{4}}$=$\frac{5}{14}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{9}^{4}}$=$\frac{1}{21}$．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{42}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{1}{21}$

可得E（ξ）=$0×\frac{5}{42}$+1×$\frac{10}{21}$+2×$\frac{5}{14}$+3×$\frac{1}{21}$=$\frac{4}{3}$．
（2）K²的觀測值k=$\frac{100×（45×15-30×10）^{2}}{55×45×75×25}$=$\frac{100}{33}$．
∴根據(jù)臨界值表，最精確的P的值應(yīng)為0.10．

點(diǎn)評 本題考查了組合數(shù)的計(jì)算公式、古典概率計(jì)算公式、“超幾何分布”分布列及其數(shù)學(xué)期望公式、“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用”計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．