Question

17．在ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC=2BD，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 選定基向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，將兩向量$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{BC}$用基向量表示出來，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，即可求出$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：選定基向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，由圖及題意得
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}×2×（-\frac{1}{2}）$$-\frac{2}{3}×{2}^{2}$
=-$\frac{8}{3}$．
故答案為：$-\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理和向量數(shù)量積的應(yīng)用．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考熱點(diǎn)，要給予重視．