Question

15．（理科）如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AB=4，BC=3，點P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=t，當t為何值時，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知易得△PCD為等腰直角三角形，PD⊥PC，BC⊥面CC₁DD₁，可求BC⊥PD，從而可證得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）過P點在平面CC₁DD作PE⊥CD于E，連接AE，可得PE⊥面ABCD，∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，利用tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$即可得解．
（Ⅲ）當t=4時，四邊形面CC₁DD₁是一個正方形，可求∠PDC=45°，C₁D⊥PD．又PC∥C₁D．可證PC∥面AB₁C₁D，從而得證．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為PD=PC=2$\sqrt{2}$，CD=AB=4，
所以△PCD為等腰直角三角形，
所以PD⊥PC．（1分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，所以BC⊥面CC₁DD₁，（2分）
而P∈面CC₁DD₁，所以PD?面CC₁DD₁，所以BC⊥PD．（3分）
因為PD垂直于平面PBC內(nèi)的兩條相交直線PC和BC，（4分）
（或PC∩BC=C也可）
由線面垂直的判定定理，（不說也可）
可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）過P點在平面CC₁DD作PE⊥CD于E，連接AE．   （6分）
因為面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，（7分）
所以∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角      （8分）
因為PE=2，AE=$\sqrt{13}$，所以tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$．   （9分）
所以PA與平面ABCD所成的角的正切值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．     （10分）
（Ⅲ）當t=4時，PC∥平面AB₁D．          （11分）
當t=4時，四邊形面CC₁DD₁是一個正方形，所以∠C₁DC=45°，而∠PDC=45°，
所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．        （12分）
而PC⊥PD，C₁D與PC在同一個平面內(nèi)，所以PC∥C₁D．        （13分）
而C₁D?平面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．          （14分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．