Question

13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過點A（12，0）作直線MN垂直x軸交拋物線于M、N兩點，ME⊥ON于E，AE∥OM，O為坐標原點．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若拋物線C上存在不同的兩點G、H關(guān)于直線y=x+m對稱，求m取值的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$M（{12，4\sqrt{3}}）$，代入y²=2px，求p的值；
（Ⅱ）設(shè)兩對稱點為G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由條件可設(shè)GH的方程為y=-x+b，與拋物線y²=4x消去y得關(guān)于x的一元二次方程，則△＞0①，由韋達定理可表示GH中點橫坐標，代入y=-x+b得其縱坐標，再代入y=x+m得m與b的方程，聯(lián)立①即可求得m的取值范圍，

解答 解：（Ⅰ）因為MN垂直x軸，所以M、N關(guān)于x軸對稱，所以|OM|=|ON|．（1分）
又因為A是MN中點，AE∥OM，所以E是ON中點，（3分）
又ME⊥ON，所以|OM|=|MN|，所以△OMN是等邊三角形，所以∠MOA=30°，（5分）
所以$M（{12，4\sqrt{3}}）$，代入y²=2px，得p=2．（6分）
（Ⅱ）因為GH與直線y=x+m垂直，所以可設(shè)GH的方程為y=-x+b，（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得y²+4y-4b=0，（8分）
由△=16+16b＞0得b＞-1，（9分）
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），GH的中點為P（x₀，y₀），
由y₁+y₂=-4，得${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=-2$，
代入y=-x+b得x₀=b+2，（10分）
又因為P（x₀，y₀）在直線y=x+m上，所以有-2=b+2+m，得b=-4-m，（11分）
結(jié)合b＞-1，得m取值的范圍為（-∞，-3）．（12分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查軸對稱問題，本題采用“方程、不等式”法，解決本題的關(guān)鍵是用數(shù)學式子充分刻畫條件：兩點關(guān)于直線對稱．