Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PE⊥ED；
（Ⅱ） 在PD上找一點(diǎn)M，使得EM∥平面PAB，請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置，并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PE⊥ED．
（2）設(shè)M（0，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，0≤λ≤1，利用向量法得到當(dāng)M是PD的中點(diǎn)時(shí)，EM∥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意P（0，0，1），E（1，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{ED}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{ED}$=-1+1+0=0，
∴PE⊥ED．
解：（2）當(dāng)M是PD中點(diǎn)時(shí)，EM∥平面PAB．
證明如下：
設(shè)M（0，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PD}$，0≤λ≤1，
則（0，b，c-1）=λ（0，2，-1）=（0，2λ，-λ），∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2λ}\\{c-1=-λ}\end{array}\right.$，∴M（0，2λ，1-λ），
$\overrightarrow{EM}$=（-1，2λ-1，1-λ），面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵EM∥平面PAB，∴$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{n}$=2λ-1=0，解得$λ=\frac{1}{2}∈[0，1]$，
∴M是PD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．