【題目】在四棱錐中,底面為菱形,,平面,且,,是的中點.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)連接AC,交BD于點O,連接PO,則PO與CF相交,設交點為E,則AC⊥BD,PC⊥BD,BD⊥CF,PO⊥CF,由此能證明CF⊥平面PDB;
(2)過點P作PG,使得 PG=BC,則GP∥AD∥BC,從而二面角AD-P-BC,即二面角C-PG-D,在平行四邊形ADGP中,過點P作AD的垂線,垂足為H,則∠HPC即所求二面角的平面角,由此能求出平面ADP與平面BCP所成銳二面角的余弦值;
(1)連接,交于點,連接,
由于,平面,所以與相交,設交點為,
∵底面為菱形,
∴,
又∵平面,
∴,∴平面,
又∵平面∴,
在中,∵,∴,,
,,
,,
∴,又因為兩個角都是銳角,
∴,則,即,
∵,、平面,
∴平面
(2)過點作,使得,
∵底面為菱形,
∴,所以二面角即二面角,
在中,過點作的垂線,垂足為,則,
又∵平面,∴∴,
∴即所求二面角的平面角,
∵,∴平面∴
又∵,∴,
在中,,,,∴,
∴,即所求二面角的平面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著醫(yī)院對看病掛號的改革,網(wǎng)上預約成為了當前最熱門的就診方式,這解決了看病期間病人插隊以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題;某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預約掛號的了解情況作出調(diào)查,并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖,如下所示.
(1)若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人,求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上(含40歲)的市民人數(shù);
(2)若按分層抽樣的方法從年齡在以及內(nèi)的市民中隨機抽取10人,再從這10人中隨機抽取3人進行調(diào)研,記隨機抽取的3人中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列以及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】天文學中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應用,英國天文學家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍,則與最接近的是(當較小時, )
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若在區(qū)間,上的最小值為1,求的值;
(Ⅱ)若“,使”為假命題,求的取值范圍.
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【題目】已知是兩條異面直線,直線與都垂直,則下列說法正確的是( )
A. 若平面,則
B. 若平面,則,
C. 存在平面,使得,,
D. 存在平面,使得,,
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【題目】已知函數(shù)f(x)x+1,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期并寫出函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程和對稱中心;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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【題目】已知函數(shù)g(x)=ex﹣ax2﹣ax,h(x)=ex﹣2x﹣lnx.其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若f(x)=h(x)﹣g(x).
①討論f(x)的單調(diào)性;
②若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)已知a>0,函數(shù)g(x)恰有兩個不同的極值點x1,x2,證明:.
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【題目】在直角坐標系中,點,是曲線上的任意一點,動點滿足
(1)求點的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點,在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求出的坐標;若不存在,請說明理由.
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