Question

20．（1）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t∈[-1，3]，若輸出的s的取值范圍記為集合A，求集合A；
（2）命題p：a∈A，其中集合A為第（1）題中的s的取值范圍；命題q：函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有極值；若p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由程序框圖可知，分段函數(shù)的對(duì)稱軸為t=2，在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞減，解得s_max=3，s_min=2，即可解得集合A．
（2）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有極值，等價(jià)于f′（x）=x²+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△=（2a）²-4＞0，由此能求出命題p：a＜-1或a＞1，利用p∧q為真命題，建立不等式組，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由程序框圖可知，當(dāng)-1≤t＜1時(shí)，s=2t，則s∈[-2，2），
當(dāng)1≤t≤3時(shí)，s=-（t-2）²+3，
∵該函數(shù)的對(duì)稱軸為t=2，
∴該函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞減．
∴s_max=3，s_min=2，
∴s∈[2，3]．
綜上知，s∈[-2，3]，集合A=[-2，3]．…（4分）
（2）∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+a$有極值，且f′（x）=x²+2ax+1，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△=（2a）²-4＞0，解得a＜-1或a＞1，
即命題p：a＜-1或a＞1．…（8分）
∵p∧q為真命題，
∴則$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{-2≤a≤3}\end{array}\right.$，解得-2≤a＜-1或1＜a≤3；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，-1）∪（1，3]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．