Question

3．已知關(guān)于x的方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，$\frac{25}{16}$）．

Answer 1

分析 由題意，△=16m²-16m≥0，故m≥1或m≤0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論滿足條件的m值，可得答案．

解答 解：由題意，△=16m²-16m≥0，
故m≥1或m≤0；
①若m≤0，則f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，5）上單調(diào)遞增，
若方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，
則$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≤0\\ f（5）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≤0\\ 25-16m＞0\\ m≤0\end{array}\right.$，
此時(shí)不存在滿足條件的m值；
②若1≤m＜$\frac{5}{2}$，則f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，2m]上單調(diào)遞減，在[2m，5）上單調(diào)遞增，
若方程x²-4mx+4m=0在x∈[$\frac{3}{2}$，5）上有解，
則$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≥0或f（5）＞0\\ f（2m）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≥0，或25-16m＞0\\ 4m-4{m}^{2}≤0\\ 1≤m＜\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
解得：m∈[1，$\frac{25}{16}$），
③若m≥$\frac{5}{2}$，則f（x）=x²-4mx+4m在[$\frac{3}{2}$，5）上單調(diào)遞減，
則$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{3}{2}）≥0\\ f（5）＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{4}-2m≥0\\ 25-16m＜0\\ m≥\frac{5}{2}\end{array}\right.$
此時(shí)不存在滿足條件的m值；
綜上所述：m∈[1，$\frac{25}{16}$），
故答案為：[1，$\frac{25}{16}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．