Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，在每一個(gè)前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結(jié)果找并集得出不等式的解；
（2）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m成立，只需4m-2m²＞f_min（x），解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）①當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）=1-2x+x+2=-x+3，令-x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜-2，∴x＜-2；
②當(dāng)-2≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=1-2x-x-2=-3x-1，令-3x-1＞0，解得x＜-$\frac{1}{3}$，又∵-2≤x≤$\frac{1}{2}$，∴-2≤x＜-$\frac{1}{3}$；
③當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=2x-1-x-2=x-3，令x-3＞0，解得x＞3，又∵x$＞\frac{1}{2}$，∴x＞3．
綜上，不等式f（x）＞0的解集為（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）由（I）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x＜-2}\\{-3x-1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$．
∵?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，∴4m-2m²＞-$\frac{5}{2}$，
整理得：4m²-8m-5＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{5}{2}$，
∴m的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法及分段函數(shù)的應(yīng)用，分情況討論去絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵．