Question

14．設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a₁，a₂，…，a_n為n（n=2，3，4，…，）階“期待數(shù)列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（1）分別寫出一個單調(diào)遞增的3階和4階“期待數(shù)列”；
（2）若某2013階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為S_k（k=1，2，3，…，n），試證：|S_k|≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$為三階期待數(shù)列，數(shù)列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$為四階期待數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為d，由于a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，可得a₁₀₀₇=0，a₁₀₀₈=d，對d分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅲ）當(dāng)k=n時，顯然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；當(dāng)k＜n時，根據(jù)條件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，再利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列$-\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$為三階期待數(shù)列，
數(shù)列$-\frac{3}{8}$，-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{3}{8}$為四階期待數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)該2013階“期待數(shù)列”的公差為d，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=0，∴$\frac{2013（{a}_{1}+{a}_{2013}）}{2}$=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，
當(dāng)d=0時，與期待數(shù)列的條件①②矛盾，
當(dāng)d＞0時，據(jù)期待數(shù)列的條件①②可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉+…+a₂₀₁₃=$\frac{1}{2}$，
∴1006d+$\frac{1006×1005}{2}$d=$\frac{1}{2}$，即d=$\frac{1}{1006×1007}$，
∴a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=$\frac{n-1007}{1006×1007}$（n∈N^*，n≤2013），
當(dāng)d＜0時，同理可得a_n=$\frac{-n+1007}{1006×1007}$，（n∈N^*，n≤2013）．
（Ⅲ）當(dāng)k=n時，顯然|S_n|=0$≤\frac{1}{2}$成立；
當(dāng)k＜n時，根據(jù)條件①得：S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+…+|a_n|=1，
∴|S_k|$≤\frac{1}{2}$（k=1，2，…，n）．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、絕對值不等式的性質(zhì)、新定義“期待數(shù)列”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．