Question

11．已知橢圓P：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，直線MN的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線MN的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
（Ⅰ）求橢圓P的方程；
（Ⅱ）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓P上，頂點(diǎn)B、D在直線7x-7y+1=0上，求該正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：直線MN的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+b，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），線段AC的中點(diǎn)E（x₀，y₀）．可設(shè)直線AC的方程為：y=-x+m．
與橢圓方程聯(lián)立化為：7x²-8mx+4m²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得E$（\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．代入直線BD的方程解得m，再利用弦長(zhǎng)公式可得|AC|，即可得出該正方形ABCD的面積S=$（\frac{1}{\sqrt{2}}|AC|）^{2}$．

解答 解：（I）由題意可得：直線MN的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+b，$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓P的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），線段AC的中點(diǎn)E（x₀，y₀）．
設(shè)直線AC的方程為：y=-x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：7x²-8mx+4m²-12=0，（*）
△=64m²-28（4m²-12）＞0，可得：m²＜7．
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{7}$．
∴x₀=$\frac{4m}{7}$，y₀=-x₀+m=$\frac{3m}{7}$．
∴E$（\frac{4m}{7}，\frac{3m}{7}）$．代入直線BD的方程為：7×$\frac{4m}{7}$-7×$\frac{3m}{7}$+1=0．
解得m=-1，滿足△＞0．
∴（*）化為：7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$．
∴|AC|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{24}{7}$．
∴該正方形ABCD的面積S=$（\frac{1}{\sqrt{2}}|AC|）^{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{24}{7}）^{2}$=$\frac{288}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、正方形的性質(zhì)及其面積計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．