Question

函數(shù)f（x）=log 

1

2

（1+x）+log 

1

2

（3-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得

1+x＞0 3-x＞0

，求解定義域；
（Ⅱ）f（x）=log

1

2

（x+1）（3-x）=log

1

2

[-（x-1）²+4]，利用單調(diào)性及配方法求值域；
（Ⅲ）由（Ⅱ）及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性寫出單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數(shù)解析式有意義，
需

1+x＞0 3-x＞0

，
解得{x|-1＜x＜3}．
（Ⅱ）f（x）=log

1

2

（x+1）（3-x）=log

1

2

[-（x-1）²+4]，
∵-1＜x＜3，
∴-（x-1）²+4∈（0，4]，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞）．
（Ⅲ）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1]，單調(diào)增區(qū)間為[1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及值域的求法，同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．