19.若函數(shù)y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$,且0≤x≤2π,則y的范圍是[1,$\sqrt{2+\sqrt{2}}$].

分析 由題意可得sinx≥0,cosx≤0,$\frac{π}{2}$≤x≤π,x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$].令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)∈[1,$\sqrt{2}$],可得-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,求得y2的范圍圍,可得y的范圍.

解答 解:∵函數(shù)y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$≥0,且0≤x≤2π,則由題意可得sinx≥0,cosx≤0,
∴$\frac{π}{2}$≤x≤π,x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$].
∵y2=sinx-cosx+2$\sqrt{-sinxcosx}$,令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)∈[1,$\sqrt{2}$],
∴-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$,∴y2=t+2$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=t+$\sqrt{{2t}^{2}-2}$,顯然函數(shù)y2在[1,$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增,
故當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)y2取得最小值為1,當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)y2取得最大值為2+$\sqrt{2}$.
即y2取的范圍是[1,2+$\sqrt{2}$],故函數(shù)y的范圍是[1,$\sqrt{2+\sqrt{2}}$].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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