Question

19．若函數(shù)y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$，且0≤x≤2π，則y的范圍是[1，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$]．

Answer 1

分析 由題意可得sinx≥0，cosx≤0，$\frac{π}{2}$≤x≤π，x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，可得-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，求得y²的范圍圍，可得y的范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{-cosx}$≥0，且0≤x≤2π，則由題意可得sinx≥0，cosx≤0，
∴$\frac{π}{2}$≤x≤π，x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
∵y²=sinx-cosx+2$\sqrt{-sinxcosx}$，令sinx-cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴-sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，∴y²=t+2$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=t+$\sqrt{{2t}^{2}-2}$，顯然函數(shù)y²在[1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y²取得最小值為1，當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)y²取得最大值為2+$\sqrt{2}$．
即y²取的范圍是[1，2+$\sqrt{2}$]，故函數(shù)y的范圍是[1，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．