Question

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)與，的距離之和為，且焦距是短軸長(zhǎng)的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）過線段上一點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)的面積與的面積之比為時(shí)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓的定義可得，再由、求得后，即可得解；

（2）轉(zhuǎn)化條件得直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理可得的面積，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

（1）由題可知，.

又，所以，

所以，所以，解得或（舍去），

從而橢圓的方程為；

（2）由題意可得，，

因?yàn)?/span>的面積與的面積之比為1：3，所以直線過定點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立得，，

所以，，

所以的面積

.

設(shè)，則，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，

所以面積的最大值為.