【題目】如圖,在長方體中,底面是邊長為的正方形,對角線相交于點,點在線段上,且與底面所成角為.

1)求證:;

2)求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)推導出平面,進而可得出

2)根據(jù)直線與底面所成的角為可計算出,然后以點為坐標原點,、、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法能計算出二面角的余弦值.

1)因為在長方體中,有平面,平面,,

因為四邊形是正方形,所以,

,從而平面.

平面,所以;

2)因為在長方體中,有、、兩兩垂直,

以點為坐標原點,、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系

由(1)知為直線與平面所成的角,

又因為與平面所成角為,所以,所以.

,得,可知,所以,

,即,故,

,,,

所以,,

設平面的法向量為,則

,令,可得,

因為平面,所以為平面的法向量,即,

所以.

由圖形可知,二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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