Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（2）定義表示中較小者，設(shè)函數(shù) .

①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；

②若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.答案見(jiàn)解析；②. .

【解析】試題分析：（1）為上的單調(diào)增函數(shù)，故值域?yàn)?/span>.（2）計(jì)算得，由此得到的單調(diào)性和最值，而有兩個(gè)不同的根則可轉(zhuǎn)化為與的函數(shù)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)去考慮.

解析：（1）∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

（2）當(dāng)時(shí)，有，故；當(dāng)時(shí)， ，故，故，由（1）知： 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 有最大值4，無(wú)最小值.

②∵在上單調(diào)遞減，∴.又在上單調(diào)遞增，∴.∴要使方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則需滿(mǎn)足.即的取值范圍是.