Question

7．近年來空氣污染是生活中一個重要的話題，PM2.5就是空氣質量的其中一個重要指標，各省、市、縣均要進行實時監(jiān)測．空氣質量指數(shù)要求PM2.5 24小時濃度均值分：優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染六級．如圖是某市2015年某月30天的PM2.5 24小時濃度均值數(shù)據(jù)．

（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，并求PM2.5 24小時濃度均值的中位數(shù)；

空氣質量 指數(shù)類別	優(yōu) [0，35]	良 （35，75]	輕度污染 （75，115]	中度污染 （115，150]	重度污染 （150，250]	嚴重污染 （250，500]	合計
頻數(shù)							30
頻率							1

（Ⅱ）專家建議，空氣質量為優(yōu)、良時可以正常進行某項戶外體育活動，輕度污染及以上時，不宜進行該項戶外體育活動．若以頻率作為概率，用統(tǒng)計的結果分析，在2015年隨機抽取6天，正常進行該項戶外體育活動的天數(shù)與不宜進行該項戶外體育活動的天數(shù)的差的絕對值為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由折線圖數(shù)據(jù)能繪制頻率分布表，由此能求出PM2.5 24小時濃度均值的中位數(shù)．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，2，4，6，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由折線圖數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，得：

空氣質量 指數(shù)類別	優(yōu) [0，35]	良 （35，75]	輕度污染 （75，115]	中度污染 （115，150]	重度污染 （150，250]	嚴重污染 （250，500]	合計
頻數(shù)	7	13	6	3	1	0	30
頻率	$\frac{7}{30}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{30}$	0	1

PM2.5 24小時濃度均值的中位數(shù)為：$\frac{{x}_{15}+{x}_{16}}{2}$=$\frac{47+48}{2}$=47.5．
（Ⅱ）由題意得X的可能取值為0，2，4，6，
P（X=0）=${C}_{6}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{160}{729}$，
P（X=2）=${C}_{6}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{4}$+${C}_{6}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{300}{729}$=$\frac{100}{243}$，
P（X=4）=${C}_{6}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{5}+{C}_{6}^{5}（\frac{2}{3}）^{5}（\frac{1}{3}）$=$\frac{204}{729}$=$\frac{68}{243}$
P（X=6）=$（\frac{2}{3}）^{6}+（\frac{1}{3}）^{6}$=$\frac{65}{729}$，
∴X的分布列為：

X	0	2	4	6
P	$\frac{160}{729}$	$\frac{100}{243}$	$\frac{68}{243}$	$\frac{65}{729}$

E（X）=$0×\frac{160}{729}+2×\frac{100}{243}+4×\frac{68}{243}+6×\frac{65}{729}$=$\frac{602}{243}$．

點評 本題考查頻率分布表的作法，考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．