Question

10．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A點(diǎn)在拋物線上，且A的橫坐標(biāo)為4，|AF|=5．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)l為過（4，0）點(diǎn)的任意一條直線，若l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓必過坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，再由拋物線的定義，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)直線l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，即可證得以AB為直徑的圓必過坐標(biāo)原點(diǎn)．

解答 （1）解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得，|AF|=4+$\frac{P}{2}$=5，
解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x；
（2）證明：設(shè)直線l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程y²=4x，可得
y²-4my-16=0，
判別式為16m²+64＞0恒成立，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=16，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
則以AB為直徑的圓必過坐標(biāo)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，屬于中檔題．