Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）≤4時，|x+3|+|x+a|＜x+6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜1\\-x+1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-x+1-x-1≤4\end{array}\right.$．的并集：求解即可．
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化不等式|x+3|+|x+a|＜x+6為|x+a|＜3，利用子集關(guān)系列出不等式組，即可求解實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤4的是解集以下3個不等式組解集的并集：$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜1\\-x+1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-x+1-x-1≤4\end{array}\right.$．
解得不等式f（x）≥4解集為{x|-2≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）在-2≤x≤2時，不等式|x+3|+|x+a|＜x+6等價于|x+a|＜3，等價于-a-3＜x＜-a+3．從而[-2，2]⊆（-a-3，-a+3），所以$\left\{\begin{array}{l}-a-3＜-2\\-a+3＞2\end{array}\right.$，得實數(shù)a的取值范圍是{a|-1＜a＜1}．…（10分）

點評 本題考查絕對值表達式的解法，考查分析問題解決問題的能力．