Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知3a_n-2S_n=2．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）求證：S_n+1²-S_nS_n+2=4×3ⁿ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）3a_n-2S_n=2，推出{a_n}是等比數(shù)列．求出a₁公比，即可求解{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）取得${S_n}={3^n}-1$，${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$，${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$，即可推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?a_n-2S_n=2，所以3a_n+1-2S_n+1=2，所以3a_n+1-3a_n-2（S_n+1-S_n）=0．
因?yàn)镾_n+1-S_n=a_n+1，所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$，因此{(lán)a_n}是等比數(shù)列．
當(dāng)n=1時(shí)，3a₁-2S₁=2，因?yàn)镾₁=a₁，所以a₁=2．
所以{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}=2×{3^{n-1}}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${S_n}={3^n}-1$，${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$，${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$，
所以$S_{n+1}^2-{S_n}{S_{n+2}}={（{3^{n+1}}-1）^2}-（{3^n}-1）（{3^{n+2}}-1）=4×{3^n}$，
即$S_{n+1}^2-{S_n}{S_{n+2}}=4×{3^n}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．