Question

20．求下列函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=x²+x^-2；
（2）f（x）=x+3x${\;}^{\frac{2}{3}}$；
（3）f（x）=2x+x${\;}^{\frac{1}{3}}$；
（4）f（x）=2x^-4+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的解析式求出x范圍，可得函數(shù)的定義域．再根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，判斷f（-x）與f（x） 的關(guān)系，從而根據(jù)定義得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+x^-2 =x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，故有x≠0，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
由于該函數(shù)滿足f（-x）=f（x），故該函數(shù)為偶函數(shù)，
（2）∵f（x）=x+3x${\;}^{\frac{2}{3}}$=x+3$\root{3}{{x}^{2}}$，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，
不滿足f（-x）=f（x），也不滿足f（-x）=-f（x），故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（3）∵f（x）=2x+x${\;}^{\frac{1}{3}}$=2x+$\root{3}{x}$，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，且它滿足f（-x）=-f（x），故該函數(shù)為奇函數(shù)．
（4）∵f（x）=2x^-4+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{{x}^{4}}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$，故x＞0，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求函數(shù)的定義域，奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．