Question

12．已知f（x）是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f[f（x）-e^x]=1，則函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{f（x）-f（-x）}$的圖象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 令 t=f（x）-e^x，由 f[f（x）-e^x]=f（t）=1，求得t=0，可得f（x）的解析式，從而求得g（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域，判斷函數(shù)g（x）的圖象特征．

解答 解：令 t=f（x）-e^x，則f（x）=t+e^x，由題意可得 f[f（x）-e^x]=f（t）=1，
∴t+e^t=1，即 e^t=1-t，
∴t=0，即f（x）=e^x．
∴函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{f（x）-f（-x）}$=$\frac{{e}^{x}{+e}^{-x}}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{2x}+1}{{e}^{2x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{2x}-1}$ （x≠0）），故排除C、D．
∴g（-x）=-g（x），故g（x）為奇函數(shù)，故它的圖象關于原點對稱．
當x＞0時，g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，故排除B．
∵$\frac{2}{{e}^{2x}-1}$＞0，∴g（x）＞1，
故選：A．

點評 本題主要考查求函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域，判斷函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．