Question

20．設(shè)S_4k=a₁+a₂+…+a_4k（k∈N^*），其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．當(dāng)S_4k除以4的余數(shù)是b（b=0，1，2，3）時(shí)，數(shù)列a₁，a₂，…，a_4k的個(gè)數(shù)記為m（b）．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求m（1）的值；
（2）求m（3）關(guān)于k的表達(dá)式，并化簡(jiǎn)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=2時(shí)，由題意可得數(shù)列a₁，a₂，…，a₈中有1個(gè)1或5個(gè)1，其余為0，可得m（1）=${C}_{8}^{1}{+C}_{8}^{5}=64$；
（2）依題意，數(shù)列a₁，a₂，…，a_4k中有3個(gè)1，或7個(gè)1，或11個(gè)1，或（4k-1）個(gè)1，其余為0，然后用組合數(shù)表示m（3），同理用組合數(shù)表示m（1），結(jié)合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m（3）．

解答 解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)列a₁，a₂，…，a₈中有1個(gè)1或5個(gè)1，其余為0，
∴m（1）=${C}_{8}^{1}{+C}_{8}^{5}=64$；
（2）依題意，數(shù)列a₁，a₂，…，a_4k中有3個(gè)1，或7個(gè)1，或11個(gè)1，或（4k-1）個(gè)1，其余為0，
∴m（3）=${C}_{4k}^{3}{+C}_{4k}^{7}{+C}_{4k}^{11}+…{+C}_{4k}^{4k-1}$，
同理得：m（1）=${C}_{4k}^{1}{+C}_{4k}^{5}{+C}_{4k}^{9}+…{+C}_{4k}^{4k-3}$，
∵${C}_{4k}^{i}={C}_{4k}^{4k-i}（i=3，7，11，…，4k-1）$，
∴m（1）=m（3）．
又m（1）+m（3）=${C}_{4k}^{1}+{C}_{4k}^{3}+{C}_{4k}^{5}+…+{C}_{4k}^{4k-3}+{C}_{4k}^{4k-1}$=2^4k-1，
∴m（3）=2^4k-2=4^2k-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查整除的定義，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了組合與組合數(shù)公式的應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵，屬中檔題．