Question

12．如圖：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的上端點(diǎn)為B，短軸上的兩個(gè)三等分點(diǎn)為P，Q，且F₁PF₂Q為正方形，若過(guò)點(diǎn)B作此正方形的外接圓的切線在x軸上的一個(gè)截距為-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則此橢圓方程的方程為$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可表示出P的坐標(biāo)和F₁的坐標(biāo)，利用正方形的性質(zhì)推斷出$\frac{3}$，根據(jù)B的坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系求得一條切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出直線的方程，利用截距求得c，進(jìn)而求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答 解：由題意知：P（0，$\frac{3}$），設(shè)F₁（-c，0）
因?yàn)镕₁PF₂Q為正方形，所以c=$\frac{3}$
即b=3c，所以b²=9c²，即a²=10c²，
因?yàn)锽（0，3c），由幾何關(guān)系可求得一條切線的斜率為2$\sqrt{2}$，
所以切線方程為y-3c=2$\sqrt{2}$x，即y=2$\sqrt{2}$x+3c，
因?yàn)樵谳S上的截距為-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，所以c=1，
所求橢圓方程為$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{9}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查橢圓的方程，找到橢圓方程中的a，b和c的關(guān)系．