Question

9．如圖，已知線段AB長度為a（a為定值），在其上任意選取一點M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是這兩個正方形的外接圓，它們交于點M、N．試以A為坐標原點，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br />（1）證明：不論點M如何選取，直線MN都通過一定點S；
（2）當$|AM|=\frac{1}{3}|AB|$時，過A作⊙Q的割線，交⊙Q于G、H兩點，在線段GH上取一點K，使$\frac{1}{|AG|}+\frac{1}{|AH|}$=$\frac{2}{|AK|}$求點K的軌跡．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標系，求出圓P、圓Q的方程，由圓系方程求得MN所在直線方程，再由直線系方程可得直線MN都通過一定點；
（2）由題意求出M的坐標，得到圓Q的方程，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），K（x，y），GH所在直線斜率為k，由$\frac{1}{|AG|}+\frac{1}{|AH|}$=$\frac{2}{|AK|}$，可得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{x}$，整理后代入根與系數(shù)的關(guān)系可得點K的軌跡是直線2x+y-a=0被⊙Q所截的一條線段．

解答 （1）證明：以A為坐標原點，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標系．

設(shè)M（m，0），則：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F(xiàn)（m，a-m），
$P（\frac{m}{2}，\frac{m}{2}）$，$Q（\frac{a+m}{2}，\frac{a-m}{2}）$，
⊙P方程為：${（{x-\frac{m}{2}}）^2}+{（{y-\frac{m}{2}}）^2}=\frac{m^2}{2}$，即：x²+y²-mx-my=0  ①，
⊙Q方程為：${（{x-\frac{a+m}{2}}）^2}+{（{y-\frac{a-m}{2}}）^2}=\frac{{{{（a-m）}^2}}}{2}$即：x²+y²-（a+m）x-（a-m）y+am=0  ②．
①-②得，公共弦MN所在直線方程：ax+（a-2m）y-am=0．
整理得：（ax+ay）+m（-2y-a）=0，
∴MN恒過定點$（\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}）$；
（2）解：當$|AM|=\frac{1}{3}|AB|$時，$M（\frac{a}{3}，0）$，
⊙Q：$（x-\frac{2}{3}a）^{2}+（y-\frac{a}{3}）^{2}=\frac{2}{9}{a}^{2}$，即：${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}ax-\frac{2}{3}ay+\frac{1}{3}{a^2}=0$．
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），K（x，y），GH所在直線斜率為k，
則：$|AG|=\sqrt{1+{k^2}}•{x_1}$，$|AH|=\sqrt{1+{k^2}}•{x_2}$，$|AK|=\sqrt{1+{k^2}}•x$，
由題意，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{x}$，即：$\frac{2}{x}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$．
把y=kx代入⊙Q方程，得：$（1+{k^2}）{x^2}-（\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak）x+\frac{1}{3}{a^2}=0$，
由韋達定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{\frac{1}{3}{a^2}}}{{1+{k^2}}}$，
∴$\frac{2}{x}=\frac{\frac{\frac{4}{3}a+\frac{2}{3}ak}{1+{k}^{2}}}{\frac{\frac{1}{3}{a}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}k}{\frac{1}{3}a}$，將$k=\frac{y}{x}$代入整理，得：2x+y-a=0．
∴點K的軌跡是直線2x+y-a=0被⊙Q所截的一條線段．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查了兩圓的公共弦的求法，著重考查了學生的讀圖能力，考查運算能力，屬有一定難度問題．