Question

【題目】如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥DC，CD= AC．設(shè)∠ABC=θ．

（1）若θ=30°，求AD的長；
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求BD的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

∴AC2=1+3﹣2 cos30°=1，

∴AC=1

在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，

∴AD=2

（2）解：設(shè)AC=x，CD= x，

在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

x2=4﹣2 cosθ，

∵ = ，

∴sin∠ACB= ．

在△BCD中，BD= =

= = = = ，

∵θ∈（0，π），

∴θ﹣ ∈（﹣ ， ），當(dāng)θ﹣ = ，θ= 時(shí)BD取到最大值3

【解析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，進(jìn)而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）設(shè)AC=x，CD= x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2=4﹣2 cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB= ，進(jìn)而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理可求BD= ，結(jié)合范圍θ∈（0，π），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求BD的最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．