Question

10．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點Q，AC平分∠DAB，AP為梯形ABCD外接圓的切線，交BD的延長線于點P．
（Ⅰ）求證：PQ²=PD•PB
（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，求AQ的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可證∠PAD=∠ABD，進而可證PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割線定理即可得證．
（Ⅱ）先證明△PAD∽△PBA，從而可得PB，由切割線定理可求PD，進而可求AQ=DQ=PA-PD的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA為圓的切線∴，∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABC，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ．
∵PA為圓的切線，
∴PA²=PD•PB，
∴PQ²=PD•PB．-------------（6分）
解：（Ⅱ）∵△PAD∽△PBA，
∴$\frac{PA}{AD}=\frac{PB}{AB}∴PB=\frac{9}{2}$，
∵PA²=PD•PB，
∴$PD=\frac{8}{9}$，
∴$AQ=DQ=PA-PD=2-\frac{8}{9}=\frac{10}{9}$．-------------（12分）

點評 本題主要考查了三角形相似的性質，切割線定理的應用，考查了數(shù)形結合與轉化思想，考查了計算能力，屬于中檔題．