Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（a∈R）．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，若直線(xiàn)l：y=kx-1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意f′（1）=0，從而可求得a的值；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，分①a≤0時(shí)②a＞0討論，可知f（x）在∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；
（3）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，則直線(xiàn)l：y=kx-1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．

解答 解：（1）由$f（x）=x-1+\frac{a}{e^x}（a∈R）$，得f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
∴f′（1）=1-$\frac{a}{e}$，
由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)平行于x軸，得$1-\frac{a}{e}=0$，即a=e；
（2）由f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，知
若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集內(nèi)為增函數(shù)，無(wú)極值；
若a＞0，由f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$=0，得x=lna，
當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
則直線(xiàn)l：y=kx-1與曲線(xiàn)y=f（x）沒(méi)有公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
假設(shè)k＞1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{k-1}}}$＜0，
又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
與“方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1．
又k=1時(shí)，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，知方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
∴k的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，突出分類(lèi)討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．