Question

7．數(shù)列{a_n}滿足a₂=3，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且2S_n=na_n+n，（n∈N^*）
（1）計算 a₁，a₃，a₄，并由此猜想通項a_n的表達式；
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設條件，可求a₁，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通項公式．
（2）利用數(shù)學歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明．

解答 （1）令n=1，2a₁=a₁+1，∴${a_1}=1\\ n=3得2（{a_1}+{a_2}+{a_3}）=3{a_3}+3$，∴${a_3}=5\\ n=4得2（{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}）=4{a_4}+4$，∴${a_4}=7\end{array}$，
并由此猜想通項a_n=2n-1
（2）證明：①當n=1顯然成立，假設n=k時成立，即a_k=2k-1，
那么當n=k+1時，
2a_k+1=2S_k+1-2S_k=（k+1）a_k+1+k+1-ka_k=-k，
∴a_k+1=$\frac{2{k}^{2}-k-1}{k-1}$=$\frac{（2k+1）（k-1）}{k-1}$=2k+1=2（k+1）-1
即當n=k+1時，猜想成立，
根據(jù)①和②對于一切的自然數(shù)n∈N^*，猜想成立

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．