Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，且角C為銳角，S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=2，f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$．求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦公式及二倍角公式，化簡(jiǎn)求得f（x）═$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出周期和f（x）的值域；
（2）f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$，求得C=$\frac{π}{6}$，由三角形的面積公式求得ab=4$\sqrt{3}$，余弦定理求得a²+b²=16，聯(lián)立求得a、b的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$（2cos²x-1）-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
f（x）的最小正周期π，
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，2x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
f（x）的值域[-$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$]；
（2）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
f（C+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2（C+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin（2C+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，cos2C=$\frac{1}{2}$，角C為銳角，
C=$\frac{π}{6}$，
S=$\frac{1}{2}absinC$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，
ab=4$\sqrt{3}$，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
a²+b²=16，
解得b=2，a=2$\sqrt{3}$或b=2$\sqrt{3}$，a=2，

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換，正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)、余弦定理，過(guò)程較繁瑣，屬于中檔題．