Question

1．在一次數(shù)學競賽的200名學生考試成績中利用隨機抽樣的方法抽取20名學生考試成績（單位：分）為樣本得頻率分布直方圖如圖：
（1）求頻率分布直方中a的值；
（2）若60為及格，90分以上（包括90分）為優(yōu)秀，求這次競賽不及格率和不及格的學生數(shù)以及優(yōu)秀率和優(yōu)秀的學生數(shù)；
（3）從樣本成績在[50，70）的學生中任選2人，求此2人的成績都在[60，70）中的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得（2a+3a+6a+7a+2a）×10=200a=1，由此能求出a．
（2）先求出分數(shù)在60分以下的頻率，從而求出這次競賽不及格的學生人數(shù)，求出分數(shù)在90分（包括90分）以上的頻率，從而能求出這次競賽優(yōu)秀的學生人數(shù)．
（3）樣本中落在[60，70）中的學生人數(shù)為3人．設樣本中落在[50，60）中的2人成績?yōu)锳₁，A₂，落在[60，70）中的3人為B₁，B₂，B₃．由此能求出此2人的成績都在[60，70）中的概率．

解答 解：（1）∵組距為10，∴（2a+3a+6a+7a+2a）×10=200a=1，
∴a=$\frac{1}{200}$=0.005．…（2分）
（2）分數(shù)在6（0分）以下的頻率為2a×10=20a=0.1=10%，
∴這次競賽不及格的學生人數(shù)為0.1×200=20．…（4分）
分數(shù)在9（0分）（包括90分）以上的頻率為2a×10=20a=0.1=10%，
∴這次競賽優(yōu)秀的學生人數(shù)為0.1×200=20．…（6分）
（3）∵樣本中落在[60，70）中的學生人數(shù)為3a×10×20=3×0.005×10×20=3．
∴設樣本中落在[50，60）中的2人成績?yōu)锳₁，A₂，落在[60，70）中的3人為B₁，B₂，B₃．
則從[50，70）中選2人共有$C_5^2=\frac{5×4}{2}=10$種選法，
其中2人都在[60，70）中的基本事件有$C_3^2=C_3^1=3$種，
故所求概率p=$\frac{3}{10}$．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．