Question

7．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左頂點為A，點B，C是橢圓E上的兩個動點．若直線AB，AC的斜率乘積為定值-$\frac{1}{4}$，則動直線BC恒過定點的坐標(biāo)為（1，0）．

Answer 1

分析 當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程y=kx+m，再聯(lián)立橢圓方程和直線方程，設(shè)出兩個交點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），根據(jù)k_AB•k_AC=-$\frac{1}{4}$，找出k和m的關(guān)系，從而求定點；當(dāng)斜率不存在時單獨討論．

解答 解：當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又A（-2，0），由題知k_AB•k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，
則（x₁+2）（x₂+2）+4y₁y₂=0，且x₁，x₂≠-2，
則x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+4k²）x₁x₂+（2+4km）（x₁+x₂）+4m2+4
=$\frac{（1+4{k}^{2}）（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}$+（2+4km）$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+4m2+4=0
則m²-km-2k²=0，
∴（m-2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=-k．
當(dāng)m=2k時，直線BC的方程為y=kx+2k=k（x+2）．
此時直線BC過定點（-2，0），顯然不適合題意．
當(dāng)m=-k時，直線BC的方程為y=kx-k=k（x-1），此時直線BC過定點（1，0）．
當(dāng)直線BC的斜率不存在時，若直線BC過定點（1，0），B、C點的坐標(biāo)分別為（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），滿足k_AB•k_AC=-$\frac{1}{4}$．
綜上，直線BC過定點（1，0）．
故答案為：（1，0）．

點評 本題是圓錐曲線和直線位置關(guān)系的常見類型，都是通過設(shè)而不求的方法，聯(lián)立方程組，再由題目中給定的等式，尋求量與量之間的關(guān)系，從而求得定點．另外，直線的斜率是否存在也是需要討論的情況．這在高考中是�？碱}型．