Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$\sqrt{3}$a=2bsinA．
（1）若c=2，C=45°，求邊b的大��；
（2）若b=3，B為鈍角，且a-c=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和已知數(shù)據(jù)可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入b=$\frac{csinB}{sinC}$，計算可得；
（2）可得B=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理整體可ac=2，代入三角形的面積公式可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\sqrt{3}$a=2bsinA，
∴由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinA=2sinBsinA，
約掉sinA可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由正弦定理可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$；
（2）由B為鈍角和sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得B=$\frac{2π}{3}$，
再由余弦定理可得9=a²+c²-2accsoB
=a²+c²+ac=（a-c）²+3ac=3+3ac，解得ac=2，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和整體思想，屬中檔題．