Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的交點(diǎn)為（-$\frac{π}{6}$，0），與此交點(diǎn)距離最小的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{π}{12}$，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求出f（x）的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴(kuò)大為原來的2倍，然后向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，最后向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象．若對(duì)任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一個(gè)解，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有周期求得ω，由圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)求得A，根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ的值，可得f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得它的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)關(guān)于直線2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$對(duì)稱，求得方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域以及m的范圍，求得k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得A=1，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，再根據(jù)它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0），
可得sin[2×（-$\frac{π}{6}$）+φ]=0，∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
再結(jié)合，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，故函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令 2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，可得x=k•$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，故它的如圖象的對(duì)稱中心為（k•$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，0）．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（-1＜a＜0），即sin（φ-$\frac{π}{3}$）=a，
由于函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)關(guān)于直線2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$對(duì)稱，
故方程f（x）=a的兩個(gè)實(shí)數(shù)根m、n滿足2•$\frac{m+n}{2}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，
 故在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和m+n=$\frac{7π}{6}$．
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴(kuò)大為原來的2倍，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
然后向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，可得y=sin（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，可得y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
最后向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1 的圖象，故g（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1．
若對(duì)任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一個(gè)解，
則|2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1|=m在區(qū)間[0，$\frac{5π}{6}$]上至少有一個(gè)解．
由kx-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{（5k-2）π}{6}$]，∴$\frac{5k-2}{6}$•π≥$\frac{π}{2}$，求得k≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．