Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2_{n}-1）}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n及使不等式T_n＜$\frac{k}{2014}$對(duì)一切n都成立的最小正整數(shù)k的值；
（3）設(shè)f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（n=2l-1，l∈{N}^{*}）}\\{_{n}（n=2l，n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$問(wèn)是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，即可得到數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，求出公差，即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)c_n，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，求出數(shù)列{c_n}的前n和為T_n，再由數(shù)列的單調(diào)性，即可得到k的最小值；
（3）分m為奇數(shù)和m為偶數(shù)，分別利用條件f（m+15）=5f（m）求出m的值，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{1}{2}n+\frac{11}{2}$，即S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，
故當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n）-[$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{11}{2}$（n-1）]=n+5，
n=1時(shí)，a₁=S₁=6，而當(dāng)n=1時(shí)，n+5=6成立，
∴a_n=n+5；
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1 =b_n+1-b_n，
∴{b_n}為等差數(shù)列，于是$\frac{9（_{3}+_{7}）}{2}$=153，
而b₃=11，b₇=23，
∴$d=\frac{_{7}-_{3}}{7-3}=\frac{23-11}{4}=3$，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，
即b_n=3n+2；
（2）c_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2_{n}-1）}$=$\frac{3}{[2（n+5）-11][2（3n+2）-1]}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
T_n=$\frac{n}{2n+1}$單調(diào)遞增，由T_n＜$\frac{k}{2012}$，得k＞2012T_n，而T_n→$\frac{1}{2}$，故k≥1006，
∴k_min=1006；
（3）f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}（n=2l-1，l∈{N}^{*}）}\\{_{n}（n=2l，n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，
①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)．
此時(shí)f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
∴3m+47=5m+25，m=11；
②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)，
此時(shí)f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10，
∴m+20=15m+10，m=$\frac{5}{7}$∉N^*（舍去）． 
綜上，存在唯一正整數(shù)m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)相消求和方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．