Question

17．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+5在（-∞，1]上是減函數(shù)；
命題q：?x∈R，lg（x²+2ax+3）＞0．
若p∨￢q是真命題，p∧￢q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 命題p：利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：$-\frac{a-1}{2}≥1$；命題q：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圓心性質(zhì)可得：x²+2ax+3＞1，即x²+2ax+2＞0，因此△=4a²-8＜0．若p∨￢q是真命題，p∧￢q是假命題，可得：p與￢q一真一假，即p與q同真同假．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x²+（a-1）x+5在（-∞，1]上是減函數(shù)，∴$-\frac{a-1}{2}≥1$，解得a≤-1；
命題q：?x∈R，lg（x²+2ax+3）＞0．∴x²+2ax+3＞1，即x²+2ax+2＞0，∴△=4a²-8＜0，解得$-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}$．
若p∨￢q是真命題，p∧￢q是假命題，
∴p與￢q一真一假，即p與q同真同假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a≤-\sqrt{2}或a≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．
 故答案為：$-\sqrt{2}＜a≤$-1，或$a≥\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．