Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（1，1）作直線l與圓x²+y²=9分別相交于A，B兩點(diǎn)，則弦|AB|的最大值與最小值的積為12$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 點(diǎn)P（1，1）在圓x²+y²=9內(nèi)，弦|AB|的最大值是直徑，再求出|AB|的最小值，由此能求出弦|AB|的最大值與最小值的積．

解答 解：∵1²+1²＜9，
∴點(diǎn)P（1，1）在圓x²+y²=9內(nèi)，
∵過點(diǎn)P（1，1）作直線l與圓x²+y²=9分別相交于A，B兩點(diǎn)，
∴弦|AB|的最大值|AB|_max=2r=6，
|OP|=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，r=3，
弦|AB|的最小值|AB|_min=2$\sqrt{{r}^{2}-|OP{|}^{2}}$=$\sqrt{9-2}$=2$\sqrt{7}$，
∴弦|AB|的最大值與最小值的積為：6×$2\sqrt{7}$=12$\sqrt{7}$．
故答案為：12$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦|AB|的最大值與最小值的積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．