Question

11．已知拋物線y²=4px上的點到直線x+y+3=0的最短距離為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）F為拋物線的焦點，直線l₁，l₂都過F點，且l₁⊥l₂，l₁交拋物線于A，B兩點，l₂交拋物線于C，D兩點，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出點P到直線x+y+3=0的距離，利用配方法求拋物線的方程；
（Ⅱ）分類討論，設直線AB的方程為：y=k（x-1），則直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與拋物線的方程聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，可得2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，同理可得x₃+x₄=2+4k²．|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設拋物線y²=4px上點P坐標為（x，y）
則點P到直線x+y+3=0的距離d=$\frac{|x+y+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{4p}（y+2p）^{2}+3-p|}{\sqrt{2}}$，
∴y=-2p時，拋物線y²=4px上的點到直線x+y+3=0的最短距離為$\frac{|3-p|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴p=1或5，
拋物線的方程為y²=4x時，聯(lián)立直線與拋物線的方程y²+4y+12=0，△＜0，滿足題意；
拋物線的方程為y²=20x時，聯(lián)立直線與拋物線的方程y²+20y+60=0，△＞0，不滿足題意
∴拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）拋物線的方程為y²=4x，焦點坐標為（1，0），
設直線AB的方程為：y=k（x-1），則直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
同理可得x₃+x₄=2+4k²．
∴|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+4=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²≥8+8=16
當且僅當k=±1時取等號．
∴|AB|+|CD|的最小值為16．

點評 本題主要考查了拋物線的應用、簡單曲線的極坐標方程，涉及了直線與拋物線的關系．屬于中檔題．