Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$）-2，其中向量$\overrightarrow a$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow b$=（sinx，-3cosx），$\overrightarrow c$=（-cosx，sinx），x∈R，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象通過(guò)怎樣的變換得到y(tǒng)=cosx的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行求解即可．
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$）-2=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$-2=sin²x+3cos²x-sinxcosx-sinxcosx=1+2cos²x-sin2x
=1+1+cos2x-sin2x
=2+$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
則函數(shù)的周期為T(mén)=$\frac{2π}{2}=π$，函數(shù)的最大值為y=2+$\sqrt{2}$．
（2）y=f（x）的圖象沿著y軸向下平移2個(gè)單位，得y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
然后橫坐標(biāo)不變，坐標(biāo)系縮小為原來(lái)的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到y(tǒng)=cos（2x+$\frac{π}{4}$），
然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$得y=cos（4x+$\frac{π}{4}$），
然后縱坐標(biāo)不變，然后沿著x軸向右平移$\frac{π}{4}$單位得到y(tǒng)=cos[4（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（4x-π+$\frac{π}{4}$）=cos（4x-$\frac{3π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用向量數(shù)量積的公式先求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．