Question

7．已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（3，9），對于偶函數(shù)y=g（x）（x∈R），當x≥0時．g（x）=f（x）-2x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求當x＜0時，函數(shù)y=g（x）的解析式，并在給定坐標系下，畫出函數(shù)y=g（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）∵冪函數(shù)y=x^α，代入點的坐標可得3^α=9，解方程可得；
（2）當x＜0時，-x＞0，由題意可得g（-x）=x²+2x，再由偶函數(shù)可得解析式，可作出圖象；
（3）由對稱性結合（2）的圖象可得函數(shù)y=|g（x）|的圖象，數(shù)形結合可得單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)y=f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點（3，9），
∴3^α=9，解得α=2，
∴函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x²；
（2）∵偶函數(shù)y=g（x）（x∈R），
當x≥0時，g（x）=x²-2x，
∴當x＜0時，-x＞0，則g（-x）=x²+2x，
由函數(shù)為偶函數(shù)可得當x＜0時，
g（x）=g（-x）=x²+2x，
函數(shù)y=g（x）的圖象如圖所示；

（3）只需將（2）的圖象x軸上方的不動，x軸下方的作關于x軸的對稱，
可得函數(shù)y=|g（x）|的圖象（圖中紅色為對稱后的圖象），
結合圖象可得函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2）和（-1，0）和（1，2）

點評 本題考查函數(shù)的解析式求解的常用方法，涉及函數(shù)奇偶性和圖象的對稱性，屬中檔題．