Question

10．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁•a₂•a₃=27，a₂•a₄=81
（1）求a₁和公比q；
（2）若{a_n}各項均為正數(shù)，求數(shù)列{n•a_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由已知，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求a₂，a₄，由${q}^{2}=\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$可求q，進而可求a₁；
（2）由a_n＞0，結(jié)合（1）可得，nan=n•3n-1，Sn=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，利用錯位相減可求和．

解答 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a₁•a₂•a₃=${a}_{2}^{3}$=27，
a₂=3，
${a}_{2}•{q}^{2}={a}_{4}$，a₂•a₄=81，
解得：a₄=27，q=±3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{q=-3}\end{array}\right.$，
（2）由a_n＞0，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$，
${a}_{n}={3}^{n-1}$，$n{a}_{n}=n•{3}^{n-1}$，
∴S_n=1•30+2•31+3•32+…+n•3n-1，
∴3S_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減：-2S_n=3⁰+3¹+…+3^n-1-n•3ⁿ=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$-n•3n
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{4}$．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應(yīng)用，錯位相減求解數(shù)列和是數(shù)列求和的重點與難點，要注意掌握，屬于中檔題．