Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0）．
（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程：
（2）直錢l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）過曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點，求直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0），
可得ρ²-6ρsinθ+8ρcosθ=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點（0，-3），又直線l方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得直線l的斜率k=$\frac{3}{4}$．設(shè)與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為y=$\frac{3}{4}$x+m．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ-6sinθ+8cosθ=0（ρ≥0），
∴ρ²-6ρsinθ+8ρcosθ=0，化為x²+y²-6y+8x=0，即（x+4）²+（y-3）²=25．
（2）曲線C₁與y軸負(fù)半軸的交點（0，-3），
又直線l方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-\frac{3}{2}+λt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
可得直線l的斜率k=$\frac{-3+\frac{3}{2}}{0-2}$=$\frac{3}{4}$．
設(shè)與直線l平行且與曲線C₂相切的直線方程為y=$\frac{3}{4}$x+m．
則$\frac{|3×（-4）-4×3+4m|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=5，
化為：m=$\frac{49}{4}$或-$\frac{1}{4}$．
∴要求的直線方程為：3x-4y+49=0，或3x-4y-1=0．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、直線與圓的相切性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．