Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求a值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（I）由已知及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡得tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1，由A=180°-B-C，可得tanA=-tan（B+C）的值．
（Ⅱ）由（I）結(jié)論可得：A=135°，可得0＜C＜B＜90°，從而可求sinC=

10

10

，由正弦定理可解得a的值．

解答： 解：（I）因tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，tan(B+C)=

tanB+tanC

1-tanBtanC

…（1分）
代入得到，tan(B+C)=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1…（3分）
因?yàn)锳=180°-B-C…（4分）
所以tanA=tan（180°-（B+C））=-tan（B+C）=-1…（6分）
（Ⅱ）∵0＜A＜180°，由（I）結(jié)論可得：A=135°…（7分）
∵tanB=

1

2

＞tanC=

1

3

＞0，
∴0＜C＜B＜90°
∴cos²C=

1

1+tan2C

=

9

10

，sinC=

1-cos2C

=

10

10

…（9分）
∴由正弦定理：

a

sinA

=

c

sinC

可解得：a=

5

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，解題時要注意討論角的范圍，屬于中檔題．