Question

6．設(shè)f（x）是二次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)（0，1），且在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為2x+y+3=0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式
（2）求函數(shù)f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積；
（3）若直線x=-t（0＜t＜1）把f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析式設(shè)出原函數(shù)的解析式，根據(jù)有兩個(gè)相等的實(shí)根可得答案．
（2）根據(jù)定積分的定義可得答案．
（3）由題意可得${∫}_{-1}^{-t}$（x2+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（x2+2x+1）dx，化簡(jiǎn)得2（t-1）³=-1，由此求得t的值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，f′（x）=2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{f（-2）=4a-2b+c=1}\\{f′（-2）=-4a+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）S=${∫}_{-1}^{0}$（x2+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x3+x2+x） ${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$．
（3）由題意可得${∫}_{-1}^{-t}$（x2+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（x2+2x+1）dx
即 （$\frac{1}{3}$x3+x2+x）${|}_{-1}^{0}$=（$\frac{1}{3}$x3+x2+x）${|}_{-1}^{0}$．
即-$\frac{1}{3}$t3+t2-t+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$t3-t2+t，∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，定積分的應(yīng)用，屬于中檔題．