Question

15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，OB=4，設(shè)∠AOB=θ，θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（1）用θ表示點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若tanθ=-2，求，△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用正弦定理求出|OA|與點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求出△AOB的面積S，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出它的值．

解答 解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4cosθ，4sinθ），
在△AOB中，|OB|=4，∠BAO=$\frac{π}{4}$，∠B=$\frac{3π}{4}$-θ
由正弦定理，得$\frac{|OB|}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{|OA|}{sinB}$，
即$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{|OA|}{sin（\frac{3π}{4}-θ）}$，
所以|OA|=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），
∴A（4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），0）；
（2）tanθ=-2，△AOB的面積為
S=$\frac{1}{2}$|OA|×|y_B|
=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）•4sinθ
=8$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）sinθ
=8（sinθcosθ+sin²θ）
=8×$\frac{sinθcosθ{+sin}^{2}θ}{{sin}^{2}θ{+cos}^{2}θ}$
=8×$\frac{tanθ{+tan}^{2}θ}{{tan}^{2}θ+1}$
=8×$\frac{-2+4}{4+1}$
=$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義，正弦定理以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分析解決問(wèn)題的能力，是綜合性題目．