Question

14．經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在80天內(nèi)的日銷售量Q（千克）和售價P（元/千克）均為時間t（天）的函數(shù)，日銷售量Q與時間t的關(guān)系如圖1所示，售價P與時間t的關(guān)系如圖2所示．
（1）寫出圖1表示的日銷售量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）；寫出圖（2）表示的售價P與時間t的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）；
（2）求日銷售額y（元）與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出日銷售額最高的是哪一天？最高的銷售額是多少？（注：日銷售額=日銷售量×售價）．

Answer 1

分析 （1）可看出圖1和圖2都是兩條線段構(gòu)成的圖象，每段線段的端點(diǎn)坐標(biāo)可以確定，從而可根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫出每條線段對應(yīng)的方程，這樣即可得出$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}t+15}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$，$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}t+40}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
（2）根據(jù)題意知y=g（t）f（t），g（t）與f（t）相乘會得到每段函數(shù)為二次函數(shù)的分段函數(shù)，然后配方即可求出每段上y的最大值，比較這兩個最大值便可得出y的最大值，以及對應(yīng)的t值，即得出日銷售額最高的是哪一天，以及最高的銷售額是多少．

解答 解：（1）根據(jù)圖1看出，圖象過點(diǎn)（0，15），（40，30），（80，0）；
∴兩條直線的斜率分別為$\frac{30-15}{40-0}=\frac{3}{8}$，$\frac{30-0}{40-80}=-\frac{3}{4}$；
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}t+15}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{4}t+60}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
根據(jù)圖2看出，圖象過點(diǎn)（0，40），（40，20），（80，25）；
∴兩直線的斜率分別為$\frac{40-20}{0-40}=-\frac{1}{2}，\frac{25-20}{80-40}=\frac{1}{8}$；
∴$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}t+40}&{0≤t＜40}\\{\frac{1}{8}t+15}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
（2）y=g（t）f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{16}（t-20）^{2}+675}&{0≤t＜40}\\{-\frac{3}{32}（t+20）^{2}+\frac{1875}{2}}&{40≤t≤80}\end{array}\right.$；
∴①0≤t＜40時，t=20時，y取到最大值675；
②40≤t≤80時，t=40時，y取到最大值600；
∴日銷售額最高的是第20天，最高的銷售額是675元．

點(diǎn)評 考查由兩點(diǎn)坐標(biāo)求過這兩點(diǎn)直線斜率的計(jì)算公式，直線的點(diǎn)斜式方程，分段函數(shù)的概念及表示形式，以及配方法求二次函數(shù)的最值．