Question

6．已知變量x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ x≥1\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$，點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積$\frac{8}{5}$，$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范圍為[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 由題意作出其平面區(qū)域，從而求出其面積，再由斜率的定義求得$\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3，化簡(jiǎn)$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，從而求其取值范圍．

解答 解：由題意作出其平面區(qū)域，

由題意可得，A（$\frac{13}{5}$，$\frac{7}{5}$），B（1，3）；
故點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積S=$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{13}{5}$-1）=$\frac{8}{5}$
則$\frac{7}{13}$≤$\frac{y}{x}$≤3；
∵$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$
∴2≤$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≤$\frac{10}{3}$
故答案為：$\frac{8}{5}$，[2，$\frac{10}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，作圖要細(xì)致認(rèn)真，用到了表達(dá)式的幾何意義的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．