Question

5．函數(shù)f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x，若同時(shí)滿(mǎn)足條件：
①?x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？為什么？

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，由①得到不等式組；由②?x∈（8，+∞），f（x）＞0，只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，分別解出不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答 解：由于f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{{x}^{2}}$e^x，
令f′（x）=0，則x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
故函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，
由于?x∈（8，+∞），f（x）＞0，
故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
當(dāng)x₂＞8，即a＞$\frac{64}{7}$時(shí)，
函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為f（x₂）=（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）${e}^{{x}_{2}}$＞0，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)x₂≤8，即a≤$\frac{64}{7}$時(shí)，
函數(shù)f（x）在（8，+∞）上的最小值為f（8）=（1-$\frac{a}{8}$）e⁸≥0，解得a≤8，
又由?x₀∈（0，+∞），x₀為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞0}\\{f（0）＞0}\\{△{=a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，解得a＞4；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為4＜a≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于中檔題．