Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{m\sqrt{x}+lnx}{x}$（x＞0），m∈R，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸存在交點(diǎn)，求m的最小值．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）的圖象與x軸存在交點(diǎn)等價為m$\sqrt{x}$+lnx=0有解，構(gòu)造函數(shù)h（x）=m$\sqrt{x}$+lnx，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值或極小值，進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）的圖象與x軸存在交點(diǎn)，
則f（x）=0有解，
即m$\sqrt{x}$+lnx=0有解，
設(shè)h（x）=m$\sqrt{x}$+lnx，
若m≥0，則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)x→0時，h（x）＜0，當(dāng)x=1時，h（1）=m+ln1=m≥0，滿足條件，
若m＜0，h′（x）=$\frac{m}{2\sqrt{x}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{m\sqrt{x}+2}{2x}$，
由h′（x）＞0得m$\sqrt{x}$+2＞0，即$\sqrt{x}$＜$\frac{-2}{m}$，則0＜x＜$\frac{4}{{m}^{2}}$，
由h′（x）＜0得m$\sqrt{x}$+2＜0，即$\sqrt{x}$＞$\frac{-2}{m}$，則x＞$\frac{4}{{m}^{2}}$，
即當(dāng)x=$\frac{4}{{m}^{2}}$時，函數(shù)h（x）取得極大值，h（$\frac{4}{{m}^{2}}$）=m•$\frac{4}{{m}^{2}}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$，
設(shè)g（m）=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=$\frac{4}{m}$+ln4-lnm²=$\frac{4}{m}$+ln4-2ln（-m），
則g′（m）=-$\frac{4}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{-m}$=-（$\frac{4}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{m}$）=-$\frac{4+2m}{{m}^{2}}$，
由g′（m）＞0得-（4+2m）＞0，得2+m＜0，得m＜-2，
由g′（m）＜0得-（4+2m）＜0，得2+m＞0，得-2＜m＜0，
即當(dāng)m=-2時，g（m）取得極大值，此時g（-2）=$\frac{4}{-2}$+ln$\frac{4}{（-2）^{2}}$=-2+ln1=-2＜0，
即h（$\frac{4}{{m}^{2}}$）=$\frac{4}{m}$+ln$\frac{4}{{m}^{2}}$=-2＜0，此時h（x）與x軸沒有交點(diǎn)，
綜上m≥0，即m的最小值是0．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與x軸有交點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．