Question

12．已知命題p₁：函數(shù)y=lntanx與y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$是同一函數(shù)；p₂：已知x₀是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2^x的一個(gè)零點(diǎn)，若1＜x₁＜x₀＜x₂，則f（x₁）＜0＜f（x₂），則在以下命題：①p₁∨p₂；②（￢p₁）∧（￢p₂）；③（￢p₁）∧p₂；④p₁∨（￢p₂）中，真命題是①③（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 先判斷出命題p₁，p₂的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假即可．

解答 解：關(guān)于命題p₁：函數(shù)y=lntanx與y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$是同一函數(shù)；
對(duì)于函數(shù)y=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1-cos2x}{1+cos2x}$=$\frac{1}{2}$lntan²x=ln$\sqrt{{tan}^{2}x}$，要求tanx≠0，
而函數(shù)y=lntanx則要求tanx＞0，
故命題p₁是假命題；
關(guān)于命題p₂：已知x₀是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1-x}$+2^x的一個(gè)零點(diǎn)，
令f（x）=0，得：2^x=$\frac{1}{x-1}$，
令g（x）=2^x，h（x）=$\frac{1}{x-1}$，
畫出函數(shù)g（x）和h（x）的圖象，如圖示：

由圖象得：
若1＜x₁＜x₀＜x₂，則f（x₁）＜0＜f（x₂），
故命題p₂是真命題；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．